Cours Géométrie : éléments de bases, propriétés des droites parallèles et perpendiculaires et médiatrice

Vocabulaire de géométrie

Droite, demi-droite et segment

Rappel

La droite qui passe par les points $A$ et $B$ est notée $(AB)$.
La demi-droite ayant pour origine le point $A$ et qui passe par le point $B$ est notée $[AB)$.
Le segment ayant pour extrémités les points $A$ et $B$ est noté $[AB]$.

À retenir

Des points sont alignés s’ils appartiennent à une même droite.
Ici, le point $C$ appartient à la droite $(AB)$, donc les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.

• Une droite est formée d’une infinité de points alignés.

Symboles $\in$ et $\notin$

À retenir

Pour noter si un point appartient ou non à une droite ou à un segment, on utilise respectivement les symboles $\in$ et $\notin$.

Le point $C$ appartient à la droite $(AB)$, on note donc : $C\in (AB)$.
Le point $C$ n’appartient pas au segment $[AB]$, on note donc : $C\notin [AB]$.

Positions relatives de droites

Définition

Droites sécantes :

Des droites sécantes sont des droites qui se coupent en un seul point (commun). Ce point est appelé « point d'intersection ».

Définition

Droites perpendiculaires :

Des droites perpendiculaires sont des droites sécantes dont l’intersection forme un angle droit.

Propriété

Deux droites sont toujours soit sécantes, soit parallèles.

Si deux droites sont sécantes et qu’elles forment un angle droit, alors elles sont perpendiculaires.

Si deux droites sont parallèles, elles ne se couperont jamais, même si on les prolonge indéfiniment. Elles peuvent être soit confondues (et avoir une infinité de points communs), soit strictement parallèles (n'avoir aucun point commun).

On peut résumer cette classification des positions relatives de deux droites dans un tableau.

Rappel

• Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires
• Tracé de droites parallèles ou perpendiculaires

Distances

Définition

Définition

La distance :

La distance entre deux points A et B est la longueur du segment [AB] : elle est notée AB. Le plus court chemin pour aller du point A au point B est le segment [AB], de longueur AB.

Propriété

Propriété

Pour tout point C, le plus court chemin entre les points A et B étant le segment [AB] de longueur AB, on a : AC + CB ≥ AB. On a l’égalité lorsque le point C appartient au segment [AB] et seulement dans ce cas.

Milieu d’un segment

Définition

Le milieu du segment [AB] est le point de ce segment qui est à égale distance du point A et du point B.

Sur l’image ci-dessous, le point I est le milieu du segment [AB].

Cercles et disques

Définition du cercle et du disques

Définition

Cercle :

Le cercle de centre $O$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points situés à la distance $r$ du point $O$.

Définition

Disque :

Le disque de centre $O$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à $r$ du point $O$.

Propriété

• Si un point $A$ est sur ce cercle, alors $OA = r$.
• Si un point $A$ vérifie l’égalité $OA = r$, alors le point $A$ est situé sur le cercle de centre $O$.

Vocabulaire

Si le point $B$ est sur le cercle de centre $O$ et de rayon $r$, alors $OB = r$.

Médiatrice d’un segment et cercle circonscrit au triangle

Définition

Définition

Médiatrice :

La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu de ce segment et qui est perpendiculaire à ce segment.

Dans le schéma ci-contre, $(d)$ est la médiatrice du segment $[AB]$ :

• la droite $(d)$ coupe le segment $[AB]$ en son milieu $I$ ;
• la droite $(d)$ est perpendiculaire au segment $[AB]$.

Rappel

La médiatrice d’un segment peut être tracée à l’équerre et à la règle graduée, ou au compas et à la règle graduée.

• Tracé de la médiatrice d’un segment à l’équerre et la règle graduée
• Tracé de la médiatrice d’un segment au compas et à la règle

Propriété de la médiatrice d’un segment

La médiatrice du segment [AB] est l’ensemble des points équidistants des points A et B. C'est-à-dire que :

• Si un point M est sur la médiatrice du segment [AB], alors MA = MB (M équidistant des points A et B).
• Si un point M vérifie MA = MB, alors il est sur la médiatrice du segment [AB].

Cercle circonscrit à un triangle

Propriété

Dans un triangle ABC, les médiatrices des 3 côtés (appelées médiatrices du triangle ABC) sont concourantes en un point appelé centre du cercle circonscrit au triangle ABC. En notant O ce point, nous pouvons tracer le cercle circonscrit au triangle ABC, qui est le cercle de centre O et de rayon [OA].

REMARQUE

Expliquons pourquoi les 3 médiatrices du triangle ABC sont concourantes :

• Tout d’abord, les deux côtés [AB] et [AC] ne sont pas parallèles (sinon le triangle serait aplati), donc leurs deux médiatrices (qui sont perpendiculaires à ces côtés) ne sont pas parallèles et sont donc concourantes en un point $O$. Montrons que le point $O$ appartient aussi à la médiatrice du segment [BC] 
• Le point $O$ appartient à la médiatrice du segment [AB] donc OA = OB.
• Le point $O$ appartient à la médiatrice du segment [AC] donc OA = OC. *On a donc OB = OC et le point $O$ appartient aussi à la médiatrice du segment [BC].
• Finalement, les 3 médiatrices du triangle ABC sont concourantes. Comme le point en lequel elles sont concourantes est équidistant des points $A$, $B$ et $C$, nous pouvons tracer un cercle de centre $O$ (et de rayon OA = OB = OC) qui passe par les points $A$, $B$ et $C$.

Bissectrice d’un angle saillant

Définition

Bissectrice d’un angle : La bissectrice d’un angle est la droite qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. C’est aussi un axe de symétrie de l’angle.

MÉTHODE

On souhaite tracer la bissectrice de l’angle $\widehat{AOB}$.

• Mesurons l’angle $\widehat{AOB}$ avec le rapporteur.

• Calculons la moitié de sa mesure.Et traçons une marque au niveau de la graduation $35\degree$.

• Traçons la demi-droite issue de $O$ passant par cette marque. Cette demi-droite est la bissectrice.